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发布员:朱永彬2015-3-18 23:32分类: 数学 标签: 初中数学 知识归纳 基础知识

 

本讲教育信息

教学内容:

一次函数

 

教学目标:

  1. 理解函数的定义、表示法、会求函数值。

  2. 掌握正比例函数的定义与性质,一次函数的定义与性质,会用待定系数法求函数的解析式,会用正比例函数和一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

  3. 会根据某个客观现象的函数,建立函数模型。

  4. 通过函数解析式与函数图象之间的关系,掌握数形结合的思想,通过建立函数模型,掌握解决某些客观现象的数量关系的问题。

 

教学重点和难点:

重点:

1. 理解函数的定义,确定函数自变量的取值范围,会求函数值。

2. 会根据客观现象建立函数模型。

3. 掌握正比例函数和一次函数的定义和性质。

难点:函数模型的建立。

 

教学知识要点归纳:

  1. 常量与变量的概念:

在讨论的问题中,取值会发生变化的量称变量,取固定不变的值为常量(或常数)。

  2. 函数的概念:

变量y随着变量x而变化,并且对于x取的每一个值,y都有唯一的一个值与它对应,那么称yx的函数,记作y=f(x),这时把x叫做自变量,y叫做因变量。

  3. 函数值的概念:

自变量在其取值范围内取某个值时,函数的对应值叫自变量取这个值的函数值。

  4. 函数关系的表示方法:

公式法:用等式表示函数关系。

列表法:列出表格表示两个变量之间的关系。

图象法:用图像表示两个变量之间的函数关系。

  5. 正比例函数的定义:

函数y=kxk0)叫做正比例函数。

  6. 正比例函数的性质:

1y=kx的图象经过O00)和A1k)的一条直线。

2)当k>0时,其图象在第一、三象限内,yx的增大而增大。

3)当k<0时,其图象在二、四象限内,yx的增大而减小。

  7. 一次函数的定义:

函数y=kx+bk0)叫做一次函数,其中kb为常数且k0

  8. 一次函数的性质:

y=kx+bk0)的图象是经过点(0b)且平行于直线y=kx的一条直线。

  9. 建立函数模型的概念:

1)求出表示某个客观现象的函数,称为建立函数模型。

2)它可以方便地解决客观现象中的数量关系问题。

3)它的关键是善于分析和揭示实际问题中变量之间的内在联系和依赖关系;并找出变量与常量、变量与变量之间的相等关系,从而确定变量之间的函数关系式。

 

规律与方法归纳:

  1. 函数的自变量的取值范围,函数值的取值范围,函数的对应关系是函数的三大要素,确定函数的自变量的取值范围时,一般要考虑:

1)表达式中分母的取值不为零。

2)对于根指数为偶数的根式,被形式的取值为非负数。

  2. 求函数的关系式关键是找常量与变量及两个变量之间的数量关系,这些数量关系往往与前面学过的公式、法则有一定的联系,应用函数的观念去考察公式法在实际问题中常量与变量及变量与变量的关系。

  3. 函数的图象的画法关键是善于找特殊点,描绘图象的主要特征。

  4. 解决一次函数的问题一般从“式”与“形”两点加以考虑,着手点一般有:

1)分式的分母不为零。

2)偶次根式的被形式为非负数。

3)利用方程恒等变形思想及实际问题的有界性等方法。

  5. 确定实际问题中变量之间的函数关系式要求:

1)善于分析和揭示实际问题中变量之间的内在联系和依赖关系,确定变量之间的函数关系,善于从已知的函数模型分析实际问题,迁移解题。

2)在解题中要结合方程、不等式以及几何等各方面的知识综合分析,灵活运用,一般的题型有决策性问题、最值问题、探究问题等。

 

【典型例题】

在上一次的寒假专题讲座中,我们介绍了七种解特殊题型的特殊方法,今天这个专题讲座老师重点介绍创新思维的典型例题。

1. 阅读下面函数,并根据你所获得的信息回答问题:

1)折线OAB表示某个实际问题的函数图像,请你编写一道符合该图像意义的应用题。

2)根据你给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义,并写出AB两点的坐标。

3)求出图象OAB的函数解析式,并注明自变量的取值范围。

分析:本题的设计别具一格,很有创意,是一道较新颖的图象开放性题,它只给出函数图象,让学生自己去创设问题情境,这就为同学们的思维创造了更广阔的驰聘空间,本题的解法多种多样,学生可以自由发挥。在这里老师仅举二例供同学们参考。

11)某医药公司发明了一种新药,在临床实验的过程中,发现成人在服药2小时后,血液中含药量最大,达每升6毫克,服药后6小时完全消退。

2x轴代表时间,y轴代表血液中含药量

A26),B60

3)解析式为

    21)小明从家里出发去学校,5分钟到达到离家400米的地方发现数学书忘记拿了,于是返回家,因为路上堵车,所以走了10分钟才到达家。

2x轴代表时间,y轴代表小明离家的距离。

A5400),B150

3)解析式为:

 

  3. 现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有AB两种不同规格的货车厢共40节,使用A型车厢每节费用为6000元,使用B型车厢每节费用为8000元。

1)设运这批货的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出yx之间的函数关系式。

2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,每节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按此要求安排AB两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?

3)在上述方案中,哪个方案运费最省?最少运费为多少元?

分析:本题是一道有创新思维的决策性问题,须先将题中这样的实际问题转化为函数最值问题,先列出算式或建立关系式,结合自变量的取值范围,通过算式大小比较或最值的确定作相应的决策。

解:1)设用A型车厢x节,则用B型车厢(40-x)节,总运费为y万元,依题意有:

yx之间的函数关系式为:

2)依题意得:

x取整数,故A型车厢可用24节、25节或26节。

方案有:

A型车厢24节,B型车厢16节。

A型车厢25节,B型车厢15节。

A型车厢26节,B型车厢14节。

3)由函数y=-0.2x+32知,x越大,y越小

故当x=26时,运费最省此时

故最少运费为26.8万元。

 

  3. 已知

xz也成正比例,其比例系数也为a

1)求证:yx的一次函数。

2)如果这个一次函数的图象在y轴上的截距是,求a的值。

分析:此题将比例的知识、方程的知识结合起来命题,求证yx的一次函数,题型新颖,知识点联系广,要证yx的一次函数,可用代入法求得解析式,再利用截距为

解:1

又∵xz也成正比例,其比例系数也为a

由②得:x=az              

yx的一次函数。

 

  4. 有一水池,其中有一进水管每天都在不停断地均匀注水,这池水供10户人家用水,则20天可以把这池水正好用完,若供15户人家用水,则10天可以把这池水正好用完。试问:如果供25户人家用水,可以几天把这池水用完?(假设每户人家每天用水量一样)

分析:我们以往常常是用传统的算术方法和代数方法解这样的题,不仅麻烦,也不好理解。如果我们换种思维方法,用函数的思想来解这道题,显然这是一种创新思维,创新思想,这种创新思想是这几年考试题和竞赛题的热点题,因此老师借助这道题,希望能够抛砖引玉。

解:设经过x天后水池的总容量为y

∵进水管每天都在不停断地均匀注水

yx的一次函数

故可设y=kx+bkb为常数,k0

若设每户人家每天用水量为a

则当x=20天时,用水量y=a·10·20

x=10天时,用水量y=a·15·10

将其代入解析式y=kx+b中得:

设这池水可供25户人家用,七天用完这池水

∴当x=t时,y=a·25t

∴这池水可供25户人家用5天。

 

  5. 某系统举办了一次篮球比赛,其记分规则及奖励方案如下表:

当比赛进行到12轮结束(每队均需比赛12场)时,A队共积19分,

1)请通过计算判断A队胜、平、负各几场。

2)若每赛一场,每个参赛队均得出场费500元,设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W元,试求W的最大值。

分析:这是一道统计与一次函数相结合的题目,其中还结合有关方程知识和不等式知识,题型新颖,综合性强,解决这道题我们可以先利用方程,不等式的知识求出A队胜负的情况,再利用一次函数的知识求出W的最大值。

解:1)设A队胜x场,平y场,负z

则根据题意可得方程:

xyz均为整数

A队胜、平、负的场数有三种情况

x=4时,y=7z=1

x=5时,y=4z=3

x=6时,y=1z=5

Wx的减小而增大,当x最小时,W最大

∴当x=4

 

【模拟试题】(答题时间:30分钟)

选择题:

  1. 函数的自变量x的取值范围是(    

A.                      B. 

C.                D. 

  2. 下列关系式中,不是函数关系的是(    

A.                   B. 

C.                   D. 

  3. 若函数的自变量x的取值范围为一切实数,则a的取值范围为(    

A. a1                 B. a1                 C. a1                 D. a>1

  4. 已知,那么的图象一定不经过(    

A. 第一象限                B. 第二象限         C. 第三象限         D. 第四象限

  5. 如果自变量x增加时,直线kb0)先后经过第二、三、四象限,那么(    

A.                        B. 

C.                        D. 

  6. 是正比例函数,则常数m的值是(    

A.                      B.                  C. –3                    D. 3

  7. 在下图直角坐标系中,一次函数的图象只可能是(    

A                                 B

                     C                                D

  8. 无论m为何实数,直线的交点不可能在(    

A. 第一象限         B. 第二象限         C. 第三象限         D. 第四象限

  9. 已知函数,要使函数值yx的增大而增大,而m的取值范围是(    

A.           B.            C.           D. 

  10. 已知一次函数的图象不经过第三象限,化简的结果是(    

A.                    B.                    C. –1             D. 1

  11. 在下图中的同一坐标系内,直线的位置可能是(    

A                                   B

                    C                                   D

求由方程确定的曲线所围成的图形的面积。

直线x轴,y轴分别交于点A和点B,另一直线k0)经过点C10),且把△AOB分成两部分,若△AOB被分成两部分的面积比为15,求kb的值。

某养鸡场可同时饲养肉食鸡和蛋鸡两种鸡,由于条件限制,若单纯饲养肉食鸡最多饲养9000只,若单纯饲养蛋鸡最多饲养6000只。

1)若饲养蛋鸡x只,则最多还能饲养肉食鸡y只,直接写出y关于x的函数关系式。

2)蛋鸡饲养一年达到最大利润,每只获利润7元;肉食鸡饲养3个月出笼卖掉,每只获利润2元,由于当地市场的制约,这家养鸡场每个季度最多能卖掉肉食鸡6000只,问这家养鸡厂年初饲养多少只蛋鸡,每季度饲养多少只肉鸡时一年获利润最大?最大利润是多少元?


【试题答案】

. 1. 解:B

  2. A

  3. D

解:

∵当时,即时,无论x取何值

恒成立

  4. 

∴直线的图象经过一、二、三象限,故选D

  5. D

  6. C

解:

  7. D  用淘汰法

  8. C

解:的交点坐标为

显然不成立

  9. B

解:

yx的增大而增大

故选B

  10. A

解:的图象不经过第三象限,

故选A

  11. 淘汰法:

1)若,则淘汰BC

2)若,则淘汰A

故应选D

 

由方程知

解得

1)当时,方程为

2)当时,方程为

3)当时,方程为

4)当时,方程为

如下图所示,这四条线段围成一个边长为的正方形

∴这个正方形的面积为:

 

解:OB交于点M0h),分△AOB面积为15有:

经过点M作直线MN//OA,如下图所示,交ABNa

在直线

,有

经过M0

C10)或经过N

C10)代入可求得:

 

1

2)设这家养鸡场年初饲养x只蛋鸡,每季度饲养只肉鸡时,一年收获利润为P元,

从函数可看出,饲养肉鸡要尽量多,蛋鸡尽量少才能获得最大利润

而肉食鸡每季度只能卖出6000只,那么

解得:

∴当喂2000只蛋鸡时,一年利润最大,为

 

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讨厌~(^。^)y-~~人家被看99+次了

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