全等三角形 - 永彬后花园-客服QQ862427375
永彬后花园-客服QQ862427375

发布员:朱永彬2015-3-18 23:31分类: 数学 标签: 初中数学 知识归纳 基础知识

本讲教育信息

教学内容:

    全等三角形

 

    教学目标:

  1. 理解旋转及旋转的性质

  2. 掌握全等三角形及其性质与判定

  3. 掌握直角三角形的性质及判定

  4. 掌握角平分线的性质与判定

  5. 掌握勾股定理及其逆定理

  6. 通过典型例题的讲解,使同学们灵活掌握某些特殊题的巧妙方法和特殊思维,从而提高同学们探索问题,解决问题的能力。

 

重点、难点

    重点:

  1. 掌握全等三角形的性质与判定

  2. 掌握直角三角形的性质与判定

  3. 掌握勾股定理及其逆定理

    难点:灵活掌握某些特殊题的巧妙方法与特殊思维方式

 

    知识要点归纳:

  1. 旋转变换的概念:

    将图形F1绕定点O旋转一个定角,得到图形F2,这种由图形F1变到F2的变换称为旋转变换。

  2. 旋转变换的性质:

    1)旋转变换只改变图形的位置,不改变图形的大小和形状

    2)对应线段相等,对应角相等

    3)任意两条对应线段的夹角等于旋转角

  3. 全等三角形的定义:

    能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。

  4. 全等三角形的性质:

    全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线相等。

  5. 两个三角形全等的判定方法:

    SSS    SAS    ASA    AAS

  6. 直角三角形的性质:

    1)有一个角为直角

    2)有两个锐角互余

    3)斜边上的中线等于斜边的一半

    4)如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半

    5)如果一个角所对的直角边等于斜边的一半,那么这个角等于30°

    6)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方。

  7. 直角三角形的判定:

    1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。

    2)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。

    3)勾股定理的逆定理:有两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。

    4)有两锐角互余的三角形是直角三角形。

  8. 两个直角三角形全等的判定方法:

    SSS    SAS    ASA    AAS    HL

  9. 角平分线的性质:

    一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

  10. 角平分线的判定:

    到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上。

 

    规律与方法归纳:

  1. “中心对称”是旋转的一个特殊情形––––旋转角为180°的旋转,旋转中心称为对称中心,中心对称由对称中心完全确定。

  2. 1)利用旋转变换的手段解几何问题的方法叫旋转变换法。

    2)利用这种方法解题的基本做法是把图形的一部分作对称变换,使条件与结论之间的联系更加明显和集中,辅助线段的添加更为自然。

    3)运用这种方法的关键是确定绕哪个点旋转和旋转角的大小,从而正确运用旋转变换的性质解题。

  3. 两个全等的三角形可以经过平移,旋转,轴反射等运动或变换使之重合。

  4. 1)运用三角形全等,可以证明线段相等,角相等,两直线垂直等问题。

    2)利用全等三角形的方法证题的关键是要找到两个待证的全等三角形。

    3)还可以利用等腰三角形,直角三角形的特殊角或边之间的关系,证明两角,两线段相等或两线段垂直。

    4)也可以利用勾股定理逆定理证明两线段垂直。

 

【典型例题】

    在前面的两个寒假专题讲座中,老师介绍了七种特殊的方法和一些创新题的创新思想,创新思维,今天这个讲座老师将通过一些典型例题,介绍一些特殊题型的巧妙方法和特殊思维方式。

  1. 在△ABC中,已知,求此三角形的面积。

    分析:本题是已知三边的长,求三角形的面积。按照常规的思维,可以用作高的方法来解,但是比较复杂。

    观察题中已知条件的特点:,且17107,由这个特点我们可以考虑构造出一个几何图形,进而活用勾股定理来解决,“巧”是解这个题的关键。

    解:如上图,作矩形ADBE,使AD17AE9,在EA上取EG4,在EB上取EF7,过GGK//ADBDK,过FFH//AEADHGKFH相交于C,则

    

    

    

    

            

            

    小结:此题巧妙解法的关键是“妙作”图形,“活用”勾股定理。

 

  2. 求证:直角三角形中,斜边上的高与斜边的和大于两直角边之和

    已知:如下图,在△ABC中,,垂足为D

    求证:

    分析:要证不等式两端均为两线段之和,所以考虑构造线段和(差)转化为证两线段的不等问题。

    思路一:构造线段和把结论中的分散线段相应集中为直角三角形的边,利用直角三角形斜边大于直角边解决问题。

    证明一:如下图,延长ACE,使CEAB

    延长BCF,使CFAD

    连结BEEF

    ADBCBFABACAE

    

    

    

    

    

    EFBD

    

    

    

    

    

    思路二:通过构造线段差把结论中的分散线段相应集中为直角三角形的边,利用直角三角形斜边大于直角边解决问题。

    证明二:如下图,在BC上截取BEBA

    F,则ECBCAB

    

    

    

    

    

    

    而在中,EC>EF

    

    

    小结:以上两种方法叫做“构造法”。

    思路三:应用面积与勾股定理通过运算证明,较简明。

    证明三:ABcACbBCaADh

    

    

              

    

    

    

    思路四:还可用类似证明二的方法用构造法证明。

    证明四:如图,在CB上截取CEAB,在CA截取CFAD

    BEBCABAFACAD

    连结EF,过EEG//ACABG

    

    

    

    ∴四边形AGEF为长方形

    

    中,BE>EG

    

    

    思路五:思路三还可以用分析法证明。

    证明五:欲证

    

    ∴只需证明

    

    ∴只需证明

    显然是成立的

    成立

    

 

  3. 如下图,O为正三角形ABC的中心,你能用旋转的方法将△ABC分成面积相等的三部分吗?如果能,请设计出分割方案,并画出示意图。

    分析:由于正三角形是旋转对称图形,并且将它绕其中心旋转120°,240°后均能与自身重合,故其分割线绕中心旋转120°,240°后能彼此重合,由此,我们可先画出一条分割线,再作出它绕中心旋转120°,240°后的图形,即可将△ABC分成形状、大小完全相同的三部分,显然也就将其面积三等分,此题“妙”在先画出一条分割线,“巧”在这条分割线的画法。

    本题答案不唯一,下面给出三种分法,同学们还可以考虑更多的分法。

    解法1连结OAOBOC,如图甲所示

    解法2AB上任取一点D,将D点分别绕点O旋转120°和240°,得到D1D2,连结ODOD1OD2即得如图乙所示。

    解法3在解法2中,用相同的曲线连接ODOD1OD2即得如丙图所示。

 

  4. 如下图,已知等边三角形ABC与等边△CDEABD在同一直线上,一只小蚂蚁由CB到达D点,一只大蚂蚁由B直接到达E点,请问:哪个走的路程较远?

    分析:本题实际上是比较线段CBBDBE的长度的大小,要比较两条线段的和与一条线段之间的长短,一种方法是补短法,另一种方法是截长法,这两种方法在前面的知识讲座中已经详细讲过,这里不再复述。

    此题的巧妙之处能够将蚂蚁的行程大小的比较转化为两条线段的和与一条线段的长短比较问题,下面我们仅举补短法来证明。

    证明:∵△ABC和△CDE是等边三角形

    

    

    

    

    

    ∴两只蚂蚁所走的路程一样远。

 

【模拟试题】(答题时间:30分钟)

填空题

  1. 如图,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况)

    _________________________________________________________

    AEAD            ABAC            OBOC            

  2. 已知如下图,DC//AB,且DCAEEAB的中点,观察图形,在不添加辅助线的情况下,请写出三个与△AED的面积相等的三角形。

  3. 直角三角形的周长为,斜边上的中线长等于1,则两直角边长分别为________

  4. 中,CD是斜边AB上的高,BC3AC4,则CD________BD___________

  5. 如下图所示,在△ABC中,ACAEBFBC,则等于___________

  6. 如下图所示,已知BD42CEAC,则CD=(    

  7. 如下图,在△ABC中,,则BC________

  8. 在△ABC中,AC4,则△ABC的面积为_________

  9. 在锐角△ABC中,已知两边a1b3,那么第三边的变化范围是____________

  10. 如下图,在正方形ABCD中,E,则AE___________cm

 

如下图所示,在△ABC中,,点O是△ABC内的一点,且,求证:

 

已知:abc为△ABC的三边长,且有,请判定三角形ABC的形状。

 

有一批边角余料状材料,如下图所示,其中ABAD,现要把每块这样的材料都加工成正方形,并且希望材料利用率尽量高,怎样做最好呢?

 

如下图,正方形ABCD的边长为1ABAD上各有一点PQ,如果△APQ的周长为2,求∠PCQ的度数。


【试题答案】

. 1. 如取:条件①AEAD,②ABAC,可得到④

  2. EBC,△AEC,△ACD

  3. 1

  4. 

  5. 45°

  6. 2

  7. 

  8. 3

  9. 解:最长边所对的角小于90°,若b为最长边,第三边,若c是最长边,则

    

  10. 解:由,得

    ABDB1

    ,则

    

    ,即

    解得

    

    

    

 

证明:作MN是垂足

    那么

    

    

    

    同理可证:AM2ON

    

                 

                 

 

解:

    

    

    即:

    

    

    

    

    

    

    

    是直角三角形,其中

 

ABC的垂线AE,沿AE剪下,补到ABAD重合,BECD共线处

 

解:将△DCQ绕点C逆时针旋转90°到△BCE处,则

    ,则

    

    与△PCE关于PC所在直线轴对称

    

温馨提示如有转载或引用以上内容之必要,敬请将本文链接作为出处标注,谢谢合作!
分享本文至:

讨厌~(^。^)y-~~人家被看99+次了

发表评论:

★ 最美的生活,行天下。