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发布员:朱永彬2015-3-15 16:36分类: 数学

本讲教育信息

教学内容:

    因式分解的方法(二)——公式法

 

教学目标:

  1. 知识与技能

    1)理解运用公式法的概念。

    2)能根据公式的不同特点,正确地选用公式进行因式分解。

  2. 过程与方法

    1)了解各公式的结构特点,进而记忆公式。

    2)结合公式的背景,体会公式的实际意义。

  3. 情感、态度与价值观

    通过主动探索与相互间的交流,获得新的知识体系,激发学生的学习兴趣,体会数学的应用价值。

 

教学重点、难点:

    重点:利用公式法分解因式。

    难点:灵活选择恰当的方法,进行因式分解。

 

知识要点归纳:

  1. 运用公式法

    1)概念:把乘法公式反过来用,就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。

    2)说明:运用公式来分解因式,关键是掌握每个公式的特点(如:项数、符号、系数和指数各有什么特点),公式中的字母不仅可以表示数,也可以表示单项式、多项式。

  2. 因式分解公式

    

    公式的特点:左边为二项式,是两个数的完全平方的差,右边是这两个数的和与差的积,运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。

    

    公式的特点:左边为三项式,其中首末两项是两个数的平方和的形式,中间一项是这两个数的积的2倍(加上相应的符号),右边是这两个数之和(或差)的平方,运用完全平方公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。

    说明:公式中的ab既可以表示数,又可以表示单项式或多项式。

 

方法技巧规律总结:

  1. 平方差公式,完全平方公式中,公式中的字母ab既可以用数或字母代替,也可以用单项式或多项式代替。

  2. 如果一个多项式的各项含有公因式,就先提公因式,然后再进一步分解,直至不能再分解为止。

  3. 有些计算题,虽然属于单纯的数字计算,但是按一般步骤进行,不仅计算麻烦,且易出错,若能利用因式分解的方法,先因式分解,再计算,就可以大大地简化运算过程。

  4. 运用公式法分解因式的思路是:

    1)当多项式只有两项时,若各项的指数都是2的倍数且二次项系数异号时,可考虑用平方差公式。

    2)当多项式有三项时,可以考虑用完全平方公式加以分解。

 

【典型例题】

    [基础知识题]

  1. 运用平方差公式分解因式

    

    

    

    

    

    

    分析:在运用平方差公式进行因式分解时,首先要判断能不能把多项式写成平方差的形式,平方差公式的特点是它的左端必须是平方差的形式,即a2b2,然后可以分解成(a+b)(ab),同时还要注意ab既可以表示单项式,又可以表示多项式,同时因式分解后的结果要化简,且要分解到不能再分解为止。

    解:

                   

    

               

    

               

    

               

               

               

               

    

               

               

               

    

               

 

  2. 用完全平方公式分解因式:

    

    

    

    

    分析:用完全平方公式进行因式分解时,首先要判断多项式是否符合完全平方公式的特点,其特点是:左端有三项,首末两项是平方项,且符号相同,中间项是首末两项底数的积的两倍。

    解:

                   

                   

    

               

    

               

    

               

 

    [探究开放题]

  3. ABC的三边abc满足a2+2b2+c22ab2bc=0,试判定△ABC的形状。

    分析:此例中方程a2+2b2+c22ab2bc=0含有三个字母abc均是未知的,像这样的题目通常化成几个非负数的和为零的形式,求出abc的值或者三者之间的关系。

    解:

    

    

    

    

    

    ∴△ABC是等边三角形

 

  4. 已知abc分别是△ABC的三边

    求证:(a2+b2c224a2b2<0

    分析:已知abc为△ABC的三边,因此我们可以联想到利用三角形三边关系,观察不等式左边是平方差的形式,可想到利用平方差公式分解因式。

    证明

    

    

    

    

    

    abc为三角形ABC的三边

    根据三角形三边之间的关系有:

    

    

    

 

    [创新提高题]

  5. 

    分析:观察式子发现(2+1)如果乘以(21)就可以用平方差公式得到221,再与22+1相乘又可用平方差公式得到241,这样进行下去,构造了一系列的平方差公式,因而使问题迎刃而解,此题解法巧妙之处在于借“1”,构造平方差公式。

    解:

    

    

    

    

    

    

    

    由上规律可判断264的末位数字为6

 

  6. 求证比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

    分析:连续自然数依次相差1,若设最小的一个自然数为n,则其它三个依次为n+1n+2n+3,因此根据题意比这四个连续自然数的积大1的数就是n(n+1)(n+2)(n+3)+1,欲证这个数是完全平方数,只要证明它是完全平方式即可,在证明过程中,我们可巧妙地将nn+3组合相乘,将(n+1)(n+2)组合相乘,目的是使两个因式相乘后,积中含有的项完全相同,都是n2+3n,然后把n2+3n看作一个整体。

    解:设连续自然数分别为nn+1n+2n+3,根据题意得:

    

    

    

    

    

    

    ∴无论n取任何自然数,(n2+3n+1)2都一定是某个自然数的平方,即比四个连续自然数的积大1的数必是一个完全平方数。

 

【模拟试题】(答题时间:60分钟)

填空题

  1. 已知的值是_____________

  2. ______________

  3. 对于任意整数m,多项式都能被__________整除。

  4. 分解因式:_____________

  5. 是一个完全平方式,则m=______________

  6. ,则____________

  7. 已知,则___________________

  8. 已知,当x________时,有最小值是___________

 

选择题

  1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是(    

    A. 

    B. 

    C. 

    D. 

  2. 无论xy取何值,的值都是(    

    A. 正数                                     B. 负数

    C.                                          D. 非负数

  3. 可分解得,那么abc的值分别是(    

    A. 

    B. 

    C. 

    D. 

  4. 在有理数范围内把分解因式,设结果中因式的个数为n,则n等于(    

    A. 3                      B. 4                      C. 5                      D. 6

  5. 计算的值是(    

    A. 2                      B.                   C. 0                      D. 

  6. 下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是(    

    A. 

    B. 

    C. 

    D. 

  7. 可被60~70之间的某两个数整除,它们是(    

    A. 67                                    B. 2021

    C. 4041                                 D. 6365

  8. 多项式分解因式的结果是(    

    A. 

    B. 

    C. 

    D. 

 

解答题

  1. 已知:,求ab的值。

  2. 已知:的值为多少?

  3. 化简求值:,其中

  4. 利用因式分解计算:

    

 

分解因式:

  1. 

  2. 

  3. 

  4. 

 

求证:不论n取何值,代数式必为某一个完全平方数的3倍。

 

求证:能被45整除。

 

 


【试题答案】

填空题

  1. 

                      

  2. 

  3. 

     

    ∴能被8整除。

  4. 

  5. 

  6. 

  7. 

  8. 11

    

    

 

选择题

  1. 1. A

  2. 

    

  3. 

    

  4. 

           

    ∴选(C

  5. 

    

    ∴选(C

  6. B

  7. 

           

    ∴选(D

  8. 

    ∴选(C

 

解答题

  1. 

    

  2. 

    

  3. 

    

  4. 原式

    

 

分解因式

  1. 

    

    

  2. 

    

  3. 

    

  4. 

    

 

证明:

    

    

    ∴不论n为何值,代数式必为某一个完全平方数的3倍。

 

证明:

    

    

    ∴能被45整除。

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讨厌~(^。^)y-~~人家被看99+次了

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